Core · 증명법
대우증명법과 귀류법
대우증명법
$p\to q$ 대신 대우 ${\sim}q\to{\sim}p$ 를 증명한다(둘은 참거짓이 같음).
귀류법
결론을 부정했을 때 모순이 생김을 보여, 결론이 참임을 증명한다.
대우증명 예
$n^2$ 이 짝수이면 $n$ 도 짝수임을 증명
- 대우: '$n$ 이 홀수이면 $n^2$ 도 홀수'
- $n=2k+1 \Rightarrow n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ → 홀수. 대우가 참이므로 원명제도 참.
귀류법 예
$\sqrt2$ 가 무리수임을 증명 (개요)
- 유리수라 가정: $\sqrt2=\dfrac{q}{p}$ (기약분수)
- $2p^2=q^2$ → $q$ 짝수 → $p$ 도 짝수 → 기약분수에 모순. 따라서 무리수.
Core · 절대부등식
늘 성립하는 부등식
$a^2\ge0$, $\quad a^2+b^2\ge2ab$, $\quad$ ($a,b>0$) $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (산술평균 ≥ 기하평균)
등호는 $a=b$ 일 때 성립한다. $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$ 에서 바로 나온다.
Interactive · 실험실
산술·기하평균 실험실
$a, b$ 를 끌어 보세요. 산술평균 $\dfrac{a+b}{2}$ 은 항상 기하평균 $\sqrt{ab}$ 이상이며, $a=b$ 일 때만 같아집니다.
산술평균 (a+b)/2
기하평균 √(ab)
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $a=2, b=8$ 일 때 기하평균 $\sqrt{ab}$ 의 값은?
Q2. 같은 $a,b$ 의 산술평균 $\dfrac{a+b}{2}$ 의 값은?
Q3. 산술평균과 기하평균이 같아지는 것은 언제인가?
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$a=4, b=9$ 일 때 기하평균 $\sqrt{ab}$ 를 구하여라.
02★★
$x>0$ 일 때 $x+\dfrac{4}{x}$ 의 최솟값을 구하여라. (산술·기하평균: $\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}$)
무한 연습 — 기하평균
두 양수의 기하평균 $\sqrt{ab}$ 를 구하세요. (정수가 되도록 출제)
(a−b)² ≥ 0 에서 시작한다
대우와 귀류법으로 길을 돌아가고, 절대부등식은 제곱이 음수가 아니라는 사실에서 나온다.
산술평균 ≥ 기하평균, 등호는 $a=b$.
"Every absolute inequality begins with a square ≥ 0."